数学難問「ポアンカレ予想」の証明理論は正当と④

参考リンク(元ネタ)
↑元のCNN記事がリンク切れみたいなので、他のブログを参照。
参考リンク(①)
参考リンク(②)
参考リンク(③)


今日がようやく「ポアンカレ予想」の最終回。
①で「同相」とは「1対1の関係があること」。
②で「x次元球面」について説明した。
③で「単連結」と「閉多様体」を書いたけど、
これでポアンカレ予想の本質を説明することができるよ。


さて、それじゃいよいよ発表です。
ポアンカレ予想ってのは、
「単連結なx次元閉多様体は、x次元球面に同相である」
って予想なんだよ。
書いてしまうとこれだけなんだけど
おそらく一般の人が読んだとしても、まったく理解不能だろうな。(笑)


具体的に、x=2の時を考えてみよう。
2次元閉多様体ってのは、
例えば、正方形の周とか三角形の周とか
「線がループしてできる図形」を意味する。
この2次元閉多様体は、2次元球面(ようは、円周)と同相であるのは
自明の事実であろう。
正方形の周と円周は、連続的に変形できるからな。


次は、x=3の時を考える。
3次元多様体ってのは、
立方体の側面とか三角錐の側面とか
「面がループしてできる図形」を意味する。
この3次元閉多様体は、3次元球面と同相であるのは……
これは「自明」とは言いがたいよな。(笑)
(確かに、言われれば自明って気がしなくはないのだが)
ポアンカレ予想の一番難しかったのは、
このx=3の時の厳密な証明だったらしい。
意外にも、xが4より大きい時ってのは
すでに証明されているらしい。
xが4より大きいときは、4次元以上の次元数の世界の話になるから
素人からすると、よっぽど3次元の時よりも難しそうな気がするけどねぇ……。
数学の世界では、「当たり前のこと」を証明するのが
一番難しいと示唆している事例なのかもしれない……。


さて、とりあえずこのポアンカレ予想って
一体何の役に立つんだろうか？(笑)
まぁ、直接役に立たなくても
基本的にこのクラスの難題を解こうとすると、
解く為に必要な新しい解法テクニックとか、新しい概念が出てくる。
その新しいテクニックなり概念が、まだ未解決の分野の解決に向けて
きっと役に立つはずなんだよね、きっと。


今回のポアンカレ予想の証明でいうと
「リッチ曲率」の概念の導入なんだろうけど、
もうこれ以上「ポアンカレ予想」をやりたくないので、
気になった人は自分で調べて俺に教えてくれ！(笑)